Ãîëëàíäñêèé õóäîæíèê Ìîðèö Êîðíèëèñ Ýøåð, ðîäèâøèéñÿ â 1898 ãîäó â Ëåóâàðäåíå ñîçäàë óíèêàëüíûå è î÷àðîâàòåëüíûå ðàáîòû, â êîòîðûõ èñïîëüçîâàíû èëè ïîêàçàíû øèðîêèé êðóã ìàòåìàòè÷åñêèõ èäåé.

Êîãäà îí ó÷èëñÿ â øêîëå, ðîäèòåëè ïëàíèðîâàëè, ÷òî îí ñòàíåò àðõèòåêòîðîì, íî ïëîõîå çäîðîâüå íå ïîçâîëèëî Ìîðèöó çàêîí÷èòü îáðàçîâàíèå, è îí ñòàë õóäîæíèêîì. Äî íà÷àëà 50-õ ãîäîâ îí íå áûë øèðîêî èçâåñòåí, íî ïîñëå ðÿäà âûñòàâîê è ñòàòåé â àìåðèêàíñêèõ æóðíàëàõ (Time è äð.) îí ïîëó÷àåò ìèðîâóþ èçâåñòíîñòü. Ñðåäè åãî âîñòîðæåííûõ ïîêëîííèêîâ áûëè è ìàòåìàòèêè, êîòîðûå âèäåëè â åãî ðàáîòàõ îðèãèíàëüíóþ âèçóàëüíóþ èíòåðïðåòàöèþ íåêîòîðûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàêîíîâ. Ýòî áîëåå èíòåðåñíî òåì, ÷òî ñàì Ýøåð íå èìåë ñïåöèàëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ.

 ïðîöåññå ñâîåé ðàáîòû îí ÷åðïàë èäåè èç ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòàòüåé, â êîòîðûõ ðàññêàçûâàëîñü î ìîçàè÷íîì ðàçáèåíèè ïëîñêîñòè, ïðîåöèðîâàíèè òðåõìåðíûõ ôèãóð íà ïëîñêîñòü è íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, î ÷åì áóäåò ðàññêàçûâàòüñÿ íèæå. Îí áûë î÷àðîâàí âñåâîçìîæíûìè ïàðàäîêñàìè è â òîì ÷èñëå "íåâîçìîæíûìè ôèãóðàìè". Ïàðàäîêñàëüíûå èäåè Ðîäæåðà Ïåíðîóçà áûëè èñïîëüçîâàíû âî ìíîãèõ ðàáîòàõ Ýøåðà. Íàèáîëåå èíòåðåñíûìè äëÿ èçó÷åíèÿ èäåÿìè Ýøåðà ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæíûå ðàçáèåíèÿ ïëîñêîñòè è ëîãèêà òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.

Ðåãóëÿðíîå ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè, íàçûâàåìîå "ìîçàèêîé" - ýòî íàáîð çàìêíóòûõ ôèãóð, êîòîðûìè ìîæíî çàìîñòèòü ïëîñêîñòü áåç ïåðåñå÷åíèé ôèãóð è ùåëåé ìåæäó íèìè. Îáû÷íî â êà÷åñòâå ôèãóðû äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìîçàèêè èñïîëüçóþò ïðîñòûå ìíîãîóãîëüíèêè, íàïðèìåð, êâàäðàòû èëè ïðÿìîóãîëüíèêè. Íî Ýøåð èíòåðåñîâàëñÿ âñåìè âèäàìè ìîçàèê - ðåãóëÿðíûìè è íåðåãóëÿðíûìè (ïðèì. ïåðåâ. íåðåãóëÿðíûå ìîçàèêè îáðàçóþò íåïîâîðÿþùèåñÿ óçîðû) - à òàêæå ââåë ñîáñòâåííûé âèä, êîòîðûé íàçâàë "ìåòàìîðôîçàìè", ãäå ôèãóðû èçìåíÿþòñÿ è âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì, à èíîãäà èçìåíÿþò è ñàìó ïëîñêîñòü.

Èíòåðåñîâàòüñÿ ìîçàèêàìè Ýøåð íà÷àë â 1936 ãîäó âî âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ ïî Èñïàíèè. Îí ïðîâåë ìíîãî âðåìåíè â Àëüãàìáðå, çàðèñîâûâàÿ àðàáñêèå ìîçàèêè, è âïîñëåäñòâèè ñêàçàë, ÷òî ýòî áûëî äëÿ íåãî "áîãàòåéøèì èñòî÷íèêîì âäîõíîâåíèÿ". Ïîçæå â 1957 ãîäó â ñâîåì ýññå î ìîçàèêàõ Ýøåð íàïèñàë:

 ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàáîòàõ ðåãóëÿðíîå ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè ðàññìàòðèâàåòñÿ òåîðåòè÷åñêè... Çíà÷èò ëè ýòî, ÷òî äàííûé âîïðîñ ÿâëÿåòñÿ ñóãóáî ìàòåìàòè÷åñêèì? Ìàòåìàòèêè îòêðûëè äâåðü âåäóùóþ â äðóãîé ìèð, íî ñàìè âîéòè â ýòîò ìèð íå ðåøèëèñü. Èõ áîëüøå èíòåðåñóåò ïóòü, íà êîòîðîì ñòîèò äâåðü, ÷åì ñàä, ëåæàùèé çà íåé.

Ìàòåìàòèêè äîêàçàëè, ÷òî äëÿ ðåãóëÿðíîãî ðàçáèåíèÿ ïëîñêîñòè  ïîäõîäÿò òîëüêî òðè ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà: òðåóãîëüíèê, êâàäðàò è øåñòèóãîëüíèê. (Íåðåãóëÿðíûõ âàðèàíòîâ ðàçáèåíèÿ ïëîñêîñòè ãîðàçäî áîëüøå.  ÷àñòíîñòè â ìîçàèêàõ èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ íåðåãóëÿðíûå ìîçàèêè, â îñíîâó êîòîðûõ ïîëîæåí ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüíèê.) Ýøåð èñïîëüçîâàë áàçîâûå îáðàçöû ìîçàèê, ïðèìåíÿÿ ê íèì òðàíñôîðìàöèè, êîòîðûå â ãåîìåòðèè íàçûâàþòñÿ ñèììåòðèåé, îòðàæåíèå, ñìåùåíèå è äð. Òàêæå îí èñêàçèë áàçîâûå ôèãóðû, ïðåâðàòèâ èõ â æèâîòíûõ, ïòèö, ÿùåðèö è ïðî÷. Ýòè èñêàæåííûå îáðàçöû ìîçàèê èìåëè òðåõ-, ÷åòûðåõ- è øåñòèíàïðàâëåííóþ ñèììåòðèþ, òàêèì îáðàçîì ñîõðàíÿÿ ñâîéñòâî çàïîëíåíèÿ ïëîñêîñòè áåç ïåðåêðûòèé è ùåëåé.

 ãðàâþðå "Ðåïòèëèè" ìàëåíüêèå êðîêîäèëû èãðàþ÷è âûðûâàþòñÿ èç òþðüìû äâóõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ñòîëà, ïðîõîäÿò êðóãîì, ÷òîáû ñíîâà ïðåâðàòèòüñÿ â äâóõìåðíûå ôèãóðû. Ìîçàèêó ðåïòèëèé Ýøåð èñïîëüçîâàë âî ìíîãèõ ñâîèõ ðàáîòàõ.  "Ýâîëþöèè 1" ìîæíî ïðîñëåäèòü ðàçâèòèå èñêàæåíèÿ êâàäðàòíîé ìîçàèêè â öåíòðàëüíóþ ôèãóðó èç ÷åòûðåõ ÿùåðèö.

Ïðàâèëüíûå ãåîìåòðè÷åñêèå òåëà - ìíîãîãðàííèêè - èìåëè îñîáîå î÷àðîâàíèå äëÿ Ýøåðà. Âî åãî ìíîãèõ ðàáîòàõ ìíîãîãðàííèêè ÿâëÿþòñÿ ãëàâíîé ôèãóðîé è â åùå áîëüøåì êîëè÷åñòâå ðàáîò îíè âñòðå÷àþòñÿ â êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ñóùåñòâóåò ëèøü ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, òî åñòü òàêèõ òåë, âñå ãðàíè êîòîðûõ ñîñòîÿò èç îäíàêîâûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Îíè åùå íàçûâàþòñÿ òåëàìè Ïëàòîíà. Ýòî - òåòðàýäð, ãðàíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ÷åòûðå ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêà, êóá ñ øåñòüþ êâàäðàòíûìè ãðàíÿìè, îêòàýäð, èìåþùèé âîñåìü òðåóãîëüíûõ ãðàíåé, äîäåêàýäð, ãðàíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ äâåíàäöàòü ïðàâèëüíûõ ïÿòèóãîëüíèêîâ, è èêîñàýäð ñ äâàäöàòüþ òðåóãîëüíûìè ãðàíÿìè. Íà ãðàâþðå "×åòûðå òåëà" Ýøåð èçîáðàçèë ïåðåñå÷åíèå îñíîâíûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäíîé îñè ñèììåòðèè, êðîìå ýòîãî ìíîãîãðàííèêè âûãëÿäÿò ïîëóïðîçðà÷íûìè, è ñêâîçü ëþáîé èç íèõ ìîæíî óâèäåòü îñòàëüíûå.

Áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî îáúåäèíåíèåì ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, à òàêæå ïðåâðàùåíèåì ìíîãîãðàííèêà â çâåçäó. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ìíîãîãðàííèêà â çâåçäó íåîáõîäèìî çàìåíèòü êàæäóþ åãî ãðàíü ïèðàìèäîé, îñíîâàíèåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ãðàíü ìíîãîãðàííèêà. Èçÿùíûé ïðèìåð çâåçä÷àòîãî äîäåêàýäðà ìîæíî íàéòè â ðàáîòå "Ïîðÿäîê è õàîñ".  äàííîì ñëó÷àå çâåçä÷àòûé ìíîãîãðàííèê ïîìåùåí âíóòðü ñòåêëÿííîé ñôåðû. Àñêåòè÷íàÿ êðàñîòà ýòîé êîíñòðóêöèè êîíòðàñòèðóåò ñ áåñïîðÿäî÷íî ðàçáðîñàííûì ïî ñòîëó ìóñîðîì. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî àíàëèçèðóÿ êàðòèíó ìîæíî äîãàäàòüñÿ î ïðèðîäå èñòî÷íèêà ñâåòà äëÿ âñåé êîìïîçèöèè - ýòî îêíî, êîòîðîå îòðàæàåòñÿ ëåâîé âåðõíåé ÷àñòè ñôåðû.

Ôèãóðû, ïîëó÷åííûå îáúåäèíåíèåì ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, ìîæíî âñòðåòèòü âî ìíîãèõ ðàáîòàõ Ýøåðà. Íàèáîëåå èíòåðåñíîé ñðåäè íèõ ÿâëÿåòñÿ ãðàâþðà "Çâåçäû", íà êîòîðîé ìîæíî óâèäåòü òåëà, ïîëó÷åííûå îáúåäèíåíèåì òåòðàýäðîâ, êóáîâ è îêòàýäðîâ. Åñëè áû Ýøåð èçîáðàçèë â äàííîé ðàáîòå ëèøü ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ìíîãîãðàííèêîâ, ìû íèêîãäà áû íå óçíàëè î íåé. Íî îí ïî êàêîé-òî ïðè÷èíå ïîìåñòèë âíóòðü öåíòðàëüíîé ôèãóðû õàìåëåîíîâ, ÷òîáû çàòðóäíèòü íàì âîñïðèÿòèå âñåé ôèãóðû. Òàêèì îáðàçîì íàì íåîáõîäèìî îòâëå÷üñÿ îò ïðèâû÷íîãî âîñïðèÿòèÿ êàðòèíû è ïîïûòàòüñÿ âçãëÿíóòü íà íåå ñâåæèì âçîðîì, ÷òîáû ïðåäñòàâèòü åå öåëèêîì. Ýòîò àñïåêò äàííîé êàðòèíû ÿâëÿåòñÿ åùå îäíèì ïðåäìåòîì âîñõèùåíèÿ ìàòåìàòèêîâ òâîð÷åñòâîì Ýøåðà.

Ñðåäè íàèáîëåå âàæíûõ ðàáîò Ýøåðà ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êàðòèíû, îïåðèðóþùèå ñ ïðèðîäîé ñàìîãî ïðîñòðàíñòâà. Ëèòîãðàôèÿ "Òðè ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè" - õîðîøèé ïðèìåð äëÿ íà÷àëà îáçîðà òàêèõ êàðòèí. Ýòîò ïðèìåð äåìîíñòðèðóåò èíòåðåñ õóäîæíèêà ê ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà è ñïîñîáíîñòü ìîçãà ðàñïîçíàâàòü òðåõìåðíûå èçîáðàæåíèÿ íà äâóõìåðíûõ ðèñóíêàõ. Êàê áóäåò íèæå, Ýøåð ïîçæå èñïîëüçîâàë äàííûé ïðèíöèï äëÿ ñîçäàíèÿ èçóìèòåëüíûõ âèçóàëüíûõ ýôôåêòîâ.

Ïîä âëèÿíèåì ðèñóíêîâ â êíèãå ìàòåìàòèêà Õ. Êîêñåòåðà Ýøåð ñîçäàë ìíîãî èëëþñòðàöèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Îäèí èç ïðèìåðîâ ìîæíî óâèäåòü â ðàáîòå "Ïðåäåë êðóãà III". Çäåñü ïðåäñòàâëåí îäèí èç äâóõ âèäîâ íååâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà, îïèñàííûõ ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ïóàíêàðå. ×òîáû ïîíÿòü îñîáåííîñòè ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, ïðåäñòàâüòå, ÷òî âû íàõîäèòåñü âíóòðè ñàìîé êàðòèíû. Ïî ìåðå âàøåãî ïåðåìåùåíèÿ îò öåíòðà êðóãà ê åãî ãðàíèöå âàø ðîñò áóäåò óìåíüøàòüñÿ òàêæå, êàê óìåíüøàþòñÿ ðûáû íà äàííîé êàðòèíå. Òàêèì îáðàçîì ïóòü, êîòîðûé âàì íàäî áóäåò ïðîéòè äî ãðàíèöû êðóãà áóäåò êàçàòüñÿ âàì áåñêîíå÷íûì. Íà ñàìîì äåëå, íàõîäÿñü â òàêîì ïðîñòàðíñòâå âû íà ïåðâûé âçãëÿä íå çàìåòèòå íè÷åãî íåîáû÷íîãî â íåì ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Íàïðèìåð, ÷òîáû äîñòè÷ü ãðàíèö åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà âàì òàêæå íåîáõîäèìî ïðîéòè áåñêîíå÷íûé ïóòü. Îäíàêî, åñëè âíèìàòåëüíî ïðèñìîòðåòüñÿ, òî ìîæíî áóäåò çàìåòèòü íåêîòîðûå îòëè÷èÿ, íàïðèìåð, âñå ïîäîáíûå òðåóãîëüíèêè èìåþò â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îäèíàêîâûé ðàçìåð, è âû íå ñìîæåòå òàì íàðèñîâàòü ôèãóðû ñ ÷åòûðüìÿ ïðÿìûìè óãëàìè, ñîåäèíåííûìè ïðÿìûìè ëèíèÿìè, òàê êàê â ýòîì ïðîñòðàíñòâå íå ñóùåñòâóåò êâàäðàòîâ è ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ñòðàííîå ìåñòî, íå ïðàâäà ëè?

Åùå áîëåå ñòðàííîå ïðîñòðàíñòâî ïîêàçàíî â ðàáîòå "Çìåè". Çäåñü ïðîñòðàíñòâî óõîäèò â áåñêîíå÷íîñòü â îáå ñòîðîíû - è â ñòîðîíó êðàÿ îêðóæíîñòè è â ñòîðîíó öåíòðà îêðóæíîñòè, ÷òî ïîêàçàíî óìåíüøàþùèìèñÿ êîëüöàìè. Åñëè âû ïîïàäåòå â òàêîå ïðîñòðàíñòâî, íà ÷òî îíî áóäåò ïîõîæå?

Êðîìå îñîáåííîñòåé åâêëèäîâîé è íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèé Ýøåðà èíòåðåñîâàëè âèçóàëüíûå àñïåêòû òîïîëîãèè. Òîïîëîãèÿ èçó÷àåò ñâîéñòâà òåë è ïîâåðõíîñòåé ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå íå èçìåíÿþòñÿ ïðè äåôîðìàöèè, íàïðèìåð,  ðàñòÿæåíèè, ñæàòèè èëè èçãèáå. Åäèíñòâåííîå, ê ÷åìó íå äîëæíà ïðèâîäèòü äåôîðìàöèÿ - ýòî ê ðàçðûâó. Òîïîëîãàì ïðèõîäèòñÿ èçîáðàæàòü ìíîæåñòâî ñòðàííûõ îáúåêòîâ. Îäíèì èç íàèáîëåå èçâåñòíûõ ÿâëÿåòñÿ ëåíòà Ìåáèóñà, êîòîðàÿ âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ ðàáîòàõ Ýøåðà. Ýòî ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííûì, íî ó ýòîé ïîâåðõíîñòè åñòü òîëüêî îäíà ñòîðîíà è îäíà êðîìêà. Åñëè âû ïðîñëåäèòå ïóòü ìóðàâüåâ íà ëèòîãðàôèè "Ëåíòà Ìåáèóñà II", òî óâèäèòå, ÷òî ìóðàâüè ïîëçóò íå ïî ïðîòèâîïîëîæíûì ïîâåðõíîñòÿì ëåíòû, à ïî îäíîé è òîé æå. Ñäåëàòü ëèñò Ìåáèóñà î÷åíü ïðîñòî. Íàäî âçÿòü ïîëîñêó áóìàãè, èçîãíóòü åå, è ñêëåèòü ïðîòèâîïîëîæíûå êðàÿ ëåíòû êëååì. Êàê âû äóìàåòå, ÷òî ñëó÷èòñÿ, åñëè ðàçðåçàòü ëèñò Ìåáèóñà âäîëü?

Äðóãàÿ èíòåðåñíàÿ ëèòîãðàôèÿ íàçàâàåòñÿ "Êàðòèííàÿ ãàëåðåÿ", â êîòîðîé èçìåíåíû îäíîâðåìåííî è òîïîëîãèÿ è ëîãèêà ïðîñòðàíñòâà. Ìû âèäèì ìàëü÷èêà, êîòîðûé ñìîòðèò íà êàðòèíó, íà êîòîðîé íàðèñîâàí ïðèìîðñêèé ãîðîä ñ ìàãàçèíîì íà áåðåãó, à â ìàãàçèíå - êàðòèííàÿ ãàëåðåÿ, à â ãàëåðåå ñòîèò ìàëü÷èê, êîòîðûé ñìîòðèò íà êàðòèíó, íà êîòîðîé íàðèñîâàí ïðèìîðñêèé ãîðîä... ñòîï! ×òî-òî íå òàê...

    

Äëÿ ïîíèìàíèÿ ëþáîé êàðòèíû Ýøåðà òðåáóåòñÿ âíèìàíèå è íàáëþäàòåëüíîñòü, à ýòà ðàáîòà òðåáóåò îñîáîãî âíèìàíèÿ. Êàêèì-òî îáðàçîì Ýøåð çàâåðíóòü ïðîñòðàíñòâî â êîëüöî, è ïîëó÷èëîñü, ÷òî ìàëü÷èê íàõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî âíóòðè êàðòèíû è âíå åå. Ñåêðåò ýòîãî ýôôåêòà ñîñòîèò â òîì, êàêèì îáðàçîì ïðåîáðàçîâàíî èçîáðàæåíèå. Ïîíÿòü ýòî ìîæíî, àíàëèçèðóÿ êàðàíäàøíûé íàáðîñîê ñåòêè, êîòîðûì ïîëüçîâàëñÿ Ýøåð ïðè ñîçäàíèè êàðòèíû. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíèÿìè ñåòêè óâåëè÷èâàåòñÿ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ñòðåëêè ÷àñîâ. Çàìåòèì åùå, íà ÷åì îñíîâàíà õèòðîñòü êàðòèíû - áåëîå ïÿòíî â öåíòðå. Ìàòåìàòèêè íàçûâàþò ýòî ïÿòíî îñîáûì ìåñòîì èëè îñîáîé òî÷êîé, ãäå ïðîñòðàíñòâà íå ñóùåñòâóåò. Íå ñóùåñòâóåò ñïîñîáà èçîáðàçèòü ýòîò ó÷àñòîê êàðòèíû áåç øâîâ èëè íàëîæåíèé, ïîýòîìó Ýøåð ðåøèë ýòó ïðîáëåìó, ïîìåñòèâ â öåíòð êàðòèíû ñâîé àâòîãðàô.

Ïîä "ëîãèêîé" ïðîñòðàíñòâà ìû ïîíèìàåì òå îòíîøåíèÿ ìåæäó ôèçè÷åñêèìè îáúåêòàìè, êîòîðûå îáû÷íû äëÿ ðåàëüíîãî ìèðà, è ïðè íàðóøåíèè êîòîðûõ âîçíèêàþò âèçóàëüíûå ïàðàäîêñû, íàçûâàåìûå åùå îïòè÷åñêèìè èëëþçèÿìè. Áîëüøèíñòâî õóäîæíèêîâ, ýêñïåðèìåíòèðóþùèå ñ ëîãèêîé ïðîñòðàíñòâà, èçìåíÿþò ýòè îòíîøåíèÿ ìåæäó îáúåêòàìè, îñíîâûâàÿñü íà ñâîåé èíòóèöèè, êàê, íàïðèìåð, Ïèêàññî.

Ýøåð ïîíèìàë, ÷òî ãåîìåòðèÿ îïðåäåëÿåò ëîãèêó ïðîñòðàíñòâà, íî è ëîãèêà ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëÿåò ãåîìåòðèþ. Îäíà èç íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûé îñîáåííîñòåé ëîãèêè ïðîñòðàíñòâà - èãðà ñâåòà è òåíè íà âûïóêëûõ è âîãíóòûõ îáúåêòàõ. Íà ëèòîãðàôèè "Êóá ñ ïîëîñêàìè" âûñòóïû íà ëåíòàõ ÿâëÿþòñÿ âèçóàëüíûì îðèåíòèðîì òîãî, êàê ðàñïîëîæåíû ïîëîñêè â ïðîñòðàíñòâå è êàê îíè ïåðåïëåòàþòñÿ ñ êóáîì. È åñëè âû âåðèòå ñâîèì ãëàçàì, òî âû íèêîãäà íå ïîâåðèòå òîìó, ÷òî íàðèñîâàíî íà ýòîé êàðòèíå.

Åùå îäèí èç àñïåêòîâ ëîãèêè ïðîñòðàíñòâà - ïåðñïåêòèâà. Íà ðèñóíêàõ, â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóåò ýôôåêò ïåðñïåêòèâû, âûäåëÿþò òàê íàçûâàåìûå òî÷êè èñ÷åçíîâåíèÿ, êîòîðûå ñîîáùàþò ãëàçó ÷åëîâåêà î áåñêîíå÷íîñòè ïðîñòðàíñòâà.  Èçó÷åíèå îñîáåííîñòåé ïåðñïåêòèâû íà÷àëîñü åùå âî âðåìåíà âîçðîæäåíèÿ õóäîæíèêàìè Àëüáåðòè, Äèçàðãîì è ìíîãèìè äðóãèìè. Èõ íàáëþäåíèÿ è âûâîäû ëåãëè â îñíîâó ñîâðåìåííîé ãåîìåòðèè ïðîåêöèé.

Ââîäÿ äîïîëíèòåëüíûå òî÷êè èñ÷åçíîâåíèÿ è íåìíîãî èçìåíÿÿ ýëåìåíòû êîìïîçèöèè äëÿ äîñòèæåíèÿ íóæíîãî ýôôåêòà, Ýøåð ñìîã èçîáðàçèòü êàðòèíû, â êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ îðèåíòàöèÿ ýëåìåíòîâ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê çðèòåëü ñìîòðèò íà êàðòèíó. Íà êàðòèíå "Câåðõó è cíèçó" õóäîæíèê ðàçìåñòèë ñðàçó ïÿòü òî÷åê èñ÷åçíîâåíèÿ - ïî óãëàì êàðòèíû è â öåíòðå.  ðåçóëüòàòå, åñëè ìû ñìîòðèì íà íèæíþþ ÷àñòü êàðòèíû, òî ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî ìû ñìîòðèì ââåðõ. Åñëè æå îáðàòèòü âçãëÿä íà âåðõíþþ ïîëîâèíó êàðòèíó, òî êàæåòñÿ, ÷òî ìû ñìîòðèì âíèç. ×òîáû ïîä÷åðêíóòü ýòîò ýôôåêò, Ýøåð èçîáðàçèë äâà âèäà îäíîé è òîé æå êîìïîçèöèè.

Òðåòèé òèï êàðòèí ñ íàðóøåííîé ëîãèêîé ïðîñòðàíñòâà - ýòî "íåâîçìîæíûå ôèãóðû". Ïàðàäîêñ íåâîçìîæíûõ ôèãóð îñíîâàí íà òîì, ÷òî íàø ìîçã âñåãäà ïûòàåòñÿ ïðåäñòàâèòü íàðèñîâàííûå íà áóìàãå äâóõìåðíûå ðèñóíêè êàê òðåõìåðíûå. Ýøåð ñîçäàë ìíîãî ðàáîò, â êîòîðûõ îáðàòèëñÿ ê ýòîé àíîìàëèè. Íàèáîëåå èíòåðåñíàÿ ðàáîòà - ëèòîãðàôèÿ "Âîäîïàä" - îñíîâàíà íà ôèãóðå íåâîçìîæíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðèäóìàííîãî ìàòåìàòèêîì Ðîäæåðîì Ïåíðîóçîì.  ýòîé ðàáîòå äâà íåâîçìîæíûõ òðåóãîëüíèêà ñîåäèíåíû â åäèíóþ íåâîçìîæíóþ ôèãóðó. Ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî âîäîïàä ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé ñèñòåìîé, ðàáîòàþùåé ïî òèïó âå÷íîãî äâèãàòåëÿ, íàðóøàÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. (Ïðèìå÷àíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ìíîãîãðàííèêè, óñòàíîâëåííûå íà áàøíÿõ âîäîïàäà.)

Ñàìîâîñïðîèçâåäåíèå è èíôîðìàöèÿ

 çàêëþ÷åíèå ìû ðàññìîòðèì àñïåêòû òâîð÷åñòâà Ýøåðà, îòíîñÿùèåñÿ ê òåîðèè èíôîðìàöèè è èñêóññòâåííîìó èíòåëëåêòó. Ýòà îáëàñòü òâîð÷åñòâà õóäîæíèêà øèðîêî îñâåùåíà âî ìíîãèõ ñòàòüÿõ è êíèãàõ. Íàèáîëåå ïîëíîå èññëåäîâàíèå ýòîãî âîïðîñà îñâåùåíî â êíèãå Äóãëàñà Õîôñòàäòåðà (Douglas R. Hofstadter) "øäåëü, Ýøåð, Áàõ: Áåñêîíå÷íàÿ çîëîòàÿ íèòü" (Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid), âûïóùåííîé â 1980 ãîäó è íàãðàæäåííîé ïóëèòöåðîâñêîé ïðåìèåé.

Öåíòðàëüíàÿ èäåÿ ñàìîâîñïðîèçâåäåíèÿ, âçÿòàÿ íà âîîðóæåíèå Ýøåðîì, îáðàùàåòñÿ ê çàãàäêå ÷åëîâå÷åñêîãî ñîçíàíèÿ è ñïîñîáíîñòè ÷åëîâå÷åñêîãî ìîçãà îáðàáàòûâàòü èíôîðìàöèþ òàê, êàê íå ñìîæåò îáðàáîòàòü íè îäèí êîìïüþòåð. Ëèòîãðàôèè "Ðèñóþùèå ðóêè" è "Ðûáû è ÷åøóéêè" èñïîëüçóþò ýòó èäåþ ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Ñàìîâîñïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåííûì äåéñòâèåì. Ðóêè ðèñóþò äðóã äðóãà, ñîçäàâàÿ ñàìèõ ñåáÿ. Ïðè ýòîì ñàìè ðóêè è ïðîöåññ èõ ñàìîâîñïðîèçâåäåíèÿ íåðàçäåëèìû.  ðàáîòå "Ðûáû è ÷åøóéêè" êîíöåïöèÿ ñàìîâîñïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíà áîëåå ôóíêöèîíàëüíî, è â äàííîì ñëó÷àå îíà ìîæåò áûòü íàçâàíà ñàìîïîäîáèåì.  ýòîì ñìûñëå äàííàÿ ðàáîòà îïèñûâàåò íå òîëüêî ðûá, à âñå æèâûå îðãàíèçìû, â òîì ÷èñëå è ÷åëîâåêà. Êîíå÷íî, ìû íå ñîñòîèò èç óìåíüøåííûõ êîïèé ñàìèõ ñåáÿ, звездчатый октаэдр как сделать íî êàæäàÿ êëåòêà íàøåãî òåëà íåñåò â ñåáå èíôîðìàöèþ îáî âñåì òåëå â âèäå ÄÍÊ.

Óãëóáëÿÿñü â èçó÷åíèå ñàìîâîñïðîèçâåäåíèÿ, ìîæíî åãî îáíàðóæèòü â îòðàæåíèè è ïåðåñå÷åíèè îòðàæåíèé ðåàëüíîãî ìèðà. Òàêîå ïåðåñå÷åíèå âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ êàðòèíàõ Ýøåðà. Ìû ðàññìîòðèì ëèøü îäèí ïðèìåð - ëèòîãðàôèþ "Òðè ñôåðû", íà êîòîðîé ïðèñóòñòâóþò òðè øàðîâèäíûõ òåëà, ñäåëàííûõ èç ðàçíûõ ìàòåðèàëîâ ñ ðàçëè÷íîé îòðàæàþùåé ñïîñîáíîñòüþ. Ýòè ñôåðû îòðàæàþò äðóã äðóãà è õóäîæíèêà, è êîìíàòó, â êîòîðîé îí ðàáîòàåò, è ëèñò áóìàãè, íà êîòîðîì îí ðèñóåò ñôåðû. Õîôñòàäòåð â ñâîåé êíèãå íàïèñàë "... êàæäàÿ ÷àñòèöà ìèðà ñîäåðæèò â ñåáå âåñü ìèð è ñîäåðæèòñÿ ê âî âñåõ äðóãèõ ÷àñòèöàõ ìèðà...".

Òàêèì îáðàçîì, ìû çàêàí÷èâàåì òåì æå, ñ ÷åãî íà÷àëè, - àâòîïîðòðåòîì õóäîæíèêà - åãî îòðàæåíèåì â ñâîåé ðàáîòå.

Ìû ðàññìîòðåëè ëèøü íåáîëüøóþ ÷àñòü ðàáîò èç ñîòåí íàáðîñêîâ è ëèòîãðàôèé è ãðàâþð, îñòàâøèõñÿ ïîñëå ñìåðòè Ýøåðà â 1972 ãîäó. Åùå ìíîãîå áóäåò ñêàçàíî è óæå ñêàçàíî î çíà÷åíèè è âàæíîñòè åãî ðàáîò. Ñ êàæäûì ãîäîì ïîÿâëÿåòñÿ âñå áîëüøå è áîëüøå êíèã, ãäå îñâåùàåòñÿ òâîð÷åñòâî õóäîæíèêà, àíàëèçèðóþòñÿ ðàçëè÷íûå àñïåêòû åãî òâîð÷åñòâà. Íàäååìñÿ, ÷òî ìû çàèíòåðåñîâàëè âàñ òâîð÷åñòâîì Ýøåðà.

Àíãëîÿçû÷íûé èñòî÷íèê ñòàòüè ìîæíî íàéòè
http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/

Ïåðåâîä Âëàäà Àëåêñååâà.

Ñïèðàëè

Ñòðàííî, íî â îðèãèíàëüíîé ðàáîòå îáîøëè âíèìàíèåì öåëûé êëàññ ôèãóð, êîòîðûå äîñòàòî÷íî ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â ðàáîòàõ Ýøåðà. Ýòî çàêðó÷åííûå â ñïèðàëè ôèãóðû.  ðàáîòå "Ñïèðàëè" ìû âèäèì ÷åòûðå çàêðó÷èâàþùèåñÿ â ñïèðàëü ïîëîñêè, êîòîðûå ïîñòîÿííî ñáëèæàþòñÿ è ïîñòåïåííî çàêðó÷èâàþòñÿ ñàìè â ñåáÿ, îáðàçóÿ ñâîåîáðàçíûé òîð. Ïðîéäÿ öåëûé êðóã, ñïèðàëü çàõîäèò âíóòðü ñàìîé ñåáÿ, îáðàçóÿ òåì ñàìûì, êàê áû, ñïèðàëü âòîðîãî ïîðÿäêà - ñïèðàëü â ñïèðàëè.

 ðàáîòå "Âîäîâîðîòû" Ýøåð îáúåäèíèë ñïèðàëåâèäíóþ ôîðìó è ñâîé èçëþáëåííûé õóäîæåñòâåííûé ïðèåì - ðåãóëÿðíîå ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè (èëè ìîçàèêó). Çäåñü ðûáû,âûïëûâ èç îäíîãî âîäîâîðîòà, ïîïàäàþò âî âòîðîé è, ïîãðóæàñü â íåãî, ïîñòåïåííî óìåíüøàþòñÿ â ðàçìåðàõ è íàêîíåö ñîâñåì èñ÷åçàþò. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïîñòåïåííî óìåíüøàþùóþñÿ â ðàçìåðàõ ìîçàèêó. Åñëè ìûñëåííî ðàçâåðíóòü ñïèðàëü, òî ìû óâèäèì ëèøü äâà ðÿäà ðûá, ïëûâóùèõ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. Íî ñêðó÷åííûå â ñïèðàëü è ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì äåôîðìèðîâàííûå îáðàçû ðûá ïîëíîñòüþ ïîêðûâàþò íåêîòîðóþ îáëàñòü áåñêîíå÷íîé ïëîñêîñòè.

Èíîé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ñïèðàëè èñïîëüçîâàí â ðàáîòå "Ñôåðè÷åñêèå ñïèðàëè", ãäå ÷åòûðå ïîëîñû ðàñïîëîæåíû íà ïîâåðõíîñòè øàðà, ïðîõîäÿ îò îäíîãî ïîëþñà øàðà ê äðóãîìó. Ïîõîæèé ïóòü ìîæåò ïðîéòè ñàìîëåò, ëåòÿùèé ñ ñåâåðíîãî ïîëþñà çåìíîãî øàðà íà þæíûé.

Çäåñü ìû ïðèâåëè îñíîâíûå âèäû ñïèðàëåé, èñïîëüçîâàííûõ Ýøåðîì â ñâîèõ ðàáîòàõ. Ðàçëè÷íûå èõ ìîäèôèêàöèè ìîæíî îáíàðóæèòü è íà ìíîãèõ äðóãèõ ëèòîãðàôèÿõ õóäîæíèêà.

Çàêëþ÷åíèå 2

Èñïîëüçîâàíèå Ýøåðîì ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôèãóð è çàêîíîâ íå îãðàíè÷èâàåòñÿ ëèøü âûøåïðèâåäåííûìè ïðèìåðàìè. Âíèìàòåëüíî èçó÷àÿ åãî êàðòèíû, ìîæíî îáíàðóæèòü è äðóãèå, íå óïîìÿíóòûå â äàííîé ñòàòüå, октаэдр ãåîìåòðè÷åñêèå òåëà èëè âèçóàëüíóþ èíòåðïðåòàöèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàêîíîâ.

Çàêîí÷èòü õîòåëîñü áû êàðòèíîé "Óçëû", èçîáðàæàþùåé çàìêíóòûå ôèãóðû, êîòîðûå íåëüçÿ îòíåñòè ê êàêîìó-ëèáî ðàçäåëó äàííîé ñòàòüè.

Âëàä Àëåêñååâ.

Áîëüøå îá Ì. Ê. Ýøåðå âû ìîæåòå óçíàòü íà ñàéòàõ
http://www.worldofescher.com
http://www.mcescher.com


Источник: http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html

Закрыть ... [X]

10 самых модных брендов одежды для женщин 2015 года в России Раскраски щенята красивые


Звездчатый октаэдр как сделать Адвокат защитил от уголовного преследования клиента-должника. - Праворуб
Звездчатый октаэдр как сделать Делюсь 141. СЦЕНАРИИ агитбригады по ПДД. - Надежда Николаевна Омельченко
Звездчатый октаэдр как сделать Джером К.Джером. Трое в одной лодке, не считая
Звездчатый октаэдр как сделать Дизайн ногтей фото. Дизайн ногтей сделайте в
Звездчатый октаэдр как сделать Дэу Матиз: доработки своими руками
Звездчатый октаэдр как сделать К чему снится Обувь во сне по 90 сонникам! Если видишь во
Звездчатый октаэдр как сделать Как связать шарф-хомут спицами - руководство и схема вязания
Звездчатый октаэдр как сделать Как сделать лизуна - Android Apps on Google Play